分形幾何在混凝土研究中的應(yīng)用及其前景

摘 要:混凝土材料的復(fù)雜性及其非線性力學(xué)行為越來(lái)越受到重視. 首先論述了混凝土研究的復(fù)雜性和應(yīng)用分形理論研究混凝土問(wèn)題的可行性，其次詳述利用分形理論研究混凝土問(wèn)題的方法， 最后指出分形理論在混凝土研究中的應(yīng)用前景.

關(guān)鍵詞：分形幾何，混凝土，分維

    作為應(yīng)用十分廣泛的建筑材料之一，混凝土是一種非均勻的多級(jí)多相介質(zhì)，由于成型工藝、養(yǎng)護(hù)條件等原因，在構(gòu)件承載之前，混凝土不同層次的相界面及水泥漿本身，已經(jīng)存在著大量的由干縮及凝結(jié)硬化所引起的各種尺度的隨機(jī)分布裂紋，即初始損傷. 這些初始損傷在荷載作用下將進(jìn)一步擴(kuò)展，其演化是非線性的，導(dǎo)致混凝土的力學(xué)性能呈現(xiàn)出明顯的非線性及各向異性.

    分形[1 ] (Fractal) 是由IBM( International Business Machine) 公司研究中心物理部研究員暨哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系教授美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家Mandelbrot 于1975 年首先提出的，它與耗散理論以及混沌被稱為20 世紀(jì)70 年代科學(xué)上的三大發(fā)現(xiàn)，是非線性科學(xué)研究中的重要成果。 它為人們從局部認(rèn)識(shí)整體，從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限提供新的方法論，為不同學(xué)科發(fā)現(xiàn)的規(guī)律性提供嶄新的語(yǔ)言和定量的描述，為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)提供新思想新方法。 近20 年來(lái)，分形理論已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用，在包括物理、化學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)、材料學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、哲學(xué)等相對(duì)獨(dú)立的領(lǐng)域內(nèi)獲得了大量成果。事實(shí)上不同學(xué)科領(lǐng)域現(xiàn)象之間存在驚人的相似性，因此分形理論有可能成為聯(lián)結(jié)現(xiàn)代各學(xué)科的緯線。 筆者就分形在混凝土研究中的應(yīng)用作一介紹，并就其應(yīng)用前景進(jìn)行進(jìn)一步分析。

1 　分形理論在混凝土研究中的應(yīng)用

1. 1 混凝土骨料的分形性

    混凝土宏觀性能所呈現(xiàn)出的不確定性、不規(guī)則性、模糊性、非線性，是其微觀結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的反映[2 ] . 目前人們對(duì)混凝土微觀性與宏觀性的關(guān)系尚末完全研究清楚，混凝土作為具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的多級(jí)多層次的復(fù)合材料體系，尤其是骨料的級(jí)配具有突出的自相似性，完全可以利用分形幾何學(xué)進(jìn)行研究。并且通過(guò)研究，得出結(jié)論：混凝土細(xì)骨料顆粒(粒徑) 級(jí)配質(zhì)量分布與細(xì)骨料顆粒(粒徑) 級(jí)配體積分布相等，都與體積分維數(shù)有關(guān)，不同的分維值對(duì)應(yīng)不同的級(jí)配關(guān)系，同樣分形體積與分形孔隙率也與分維值有關(guān)，進(jìn)而指出由于混凝土是一種微觀結(jié)構(gòu)及力學(xué)性能都很復(fù)雜的大宗工程材料，為此人們做了大量的研究工作，但迄今還有許多問(wèn)題尚未弄清。利用分形幾何學(xué)原理對(duì)混凝土微觀結(jié)構(gòu)、細(xì)觀層次下的力學(xué)性能及自相似特征的描述是十分有效的，無(wú)疑對(duì)混凝土研究開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)新的方法。研究表明[3 ] ，混凝土中存在許多的分形現(xiàn)象，混凝土孔隙與土孔隙相似，都是具有多層次自相似的混沌體，對(duì)這種分形現(xiàn)象進(jìn)行深入分析，是研究混凝土復(fù)雜性本質(zhì)的有效途徑。

1. 2 　混凝土裂紋擴(kuò)展的分形動(dòng)力學(xué)

    對(duì)于脆性及半脆性的混凝土斷裂問(wèn)題，目前研究的仍很不夠，其原因在于混凝土這種材料斷裂極其復(fù)雜[4 - 7 ] . 混凝土斷裂要經(jīng)過(guò)萌生、擴(kuò)展(平速) 和動(dòng)態(tài)斷裂(加速) 的復(fù)雜過(guò)程，且該過(guò)程又受混凝土應(yīng)力狀態(tài)、材料強(qiáng)度、原生缺陷等多種因素制約，從而造成混凝土斷裂過(guò)程中出現(xiàn)一系列的復(fù)雜裂紋運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象： ① 斷裂萌生過(guò)程中的微裂隙形成；②裂紋擴(kuò)展過(guò)程中的沿晶、穿晶及其耦合形式；③原生缺陷的干擾； ④動(dòng)態(tài)斷裂中的裂紋分叉、協(xié)同貫通及沿剪切面的突變滑移； ⑤羽狀裂隙的形成，等等，從而導(dǎo)致裂紋的擴(kuò)展路徑彎彎曲曲，極不規(guī)則。大量研究表明，裂紋的擴(kuò)展路徑具有分形特征。裂紋在萌生過(guò)程中，其過(guò)程區(qū)形成微裂隙網(wǎng)絡(luò)，微裂隙網(wǎng)絡(luò)具有分形特征，其分形維數(shù)隨著應(yīng)力的增加會(huì)逐漸增大，直到裂紋開(kāi)裂擴(kuò)展，此區(qū)域的微裂隙網(wǎng)絡(luò)的分形維數(shù)才穩(wěn)定下來(lái)，形成一個(gè)過(guò)渡的分形穩(wěn)定域. 隨應(yīng)力的變化，裂紋繼續(xù)此過(guò)程，從而過(guò)渡到下一個(gè)分形微裂隙域。裂紋在擴(kuò)展過(guò)程中，一般表現(xiàn)為沿晶斷裂擴(kuò)展、穿晶斷裂擴(kuò)展及其耦合三種形式，中國(guó)學(xué)者謝和平[1 ] 對(duì)大理石建立了三種形式的裂紋分形模型，并計(jì)算出相應(yīng)的分形維數(shù)和裂紋臨界擴(kuò)展力，對(duì)深入研究混凝土微現(xiàn)斷裂機(jī)理十分有益. 裂紋擴(kuò)展分叉是一個(gè)非線性現(xiàn)象，它可使斷裂韌性值增加。其分叉的非規(guī)則性是材料物理力學(xué)、變形破壞和微結(jié)構(gòu)效應(yīng)的綜合反映。 若假設(shè)其為自相似分叉系統(tǒng)，可建立其分叉的分形模型為：

D = ln3/ ln (2cos β2 )

    若綜合考慮裂紋的萌生微裂隙域的形成，裂紋的擴(kuò)展和動(dòng)態(tài)分叉斷裂、裂隙擴(kuò)展路徑的復(fù)雜程度及分形維數(shù)的大小與受力特征、材料性質(zhì)有直接聯(lián)系. 一般而言，同一種混凝土材料裂紋尖端承受剪應(yīng)力時(shí)其分形維數(shù)明顯大于受張應(yīng)力的情形，且裂紋尖端剪應(yīng)力越大，裂紋擴(kuò)展的路徑越復(fù)雜，其維數(shù)值越高。

    李廷芥[2 ] 等進(jìn)行的試驗(yàn)研究表明，裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致其表面自由能的耗散量、裂紋擴(kuò)展速度與裂紋的分形維數(shù)D 有如下關(guān)系：

ΔE = A ·d- DG0

V = ( d Δα) 1 - DV 0

    式中　G0 為斷裂韌度；d 為分形標(biāo)度下限；V 0 為測(cè)量裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)為Δα?xí)r的表觀擴(kuò)展速度上式表明：低維數(shù)值對(duì)應(yīng)著混凝土中裂紋的快速生成和擴(kuò)展，以及彈性能快速轉(zhuǎn)變成動(dòng)能，從而導(dǎo)致動(dòng)態(tài)破壞現(xiàn)象的發(fā)生，這一點(diǎn)對(duì)混凝土破壞的預(yù)測(cè)具有重要的理論價(jià)值。

    構(gòu)件的斷裂是結(jié)構(gòu)材料最危險(xiǎn)的失效形式，所以斷裂力學(xué)一直是材料學(xué)包括建筑材料學(xué)的研究熱點(diǎn)。傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)斷裂力學(xué)理論建立了材料宏觀力學(xué)性能測(cè)試和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，但如前所述，它尚不能從細(xì)觀和微觀尺度揭示材料組織結(jié)構(gòu)與性能之間的關(guān)系，而這是材料科學(xué)的根本問(wèn)題。文獻(xiàn)[ 8 ]首先嘗試將分形幾何用于混凝土類材料的斷裂研究，認(rèn)為不規(guī)則的混凝土斷口同樣具有統(tǒng)計(jì)自相似性和分形持征。根據(jù)混凝土裂紋的擴(kuò)展路徑和分形幾何原理，他們從微觀尺度分別建立了沿晶脆斷、穿晶脆斷、沿晶和穿晶偶合斷裂的微觀分形模型，井將預(yù)測(cè)的分維值與采用周長(zhǎng)面積法實(shí)測(cè)的大理石直接拉伸試樣的分維值進(jìn)行了比較，得到了基本一致的結(jié)果. 通過(guò)分形分析給出了沿晶和偶合斷裂最容易發(fā)生的定量描述，作者指出混凝土斷裂表面的分維可能是混凝土材料組織結(jié)構(gòu)、變形和破壞過(guò)程的綜合相關(guān)的幾何參量。文獻(xiàn)[ 9 ] 指出分形幾何可以應(yīng)用于脆性和準(zhǔn)脆性斷裂研究， 經(jīng)典的方法不適合于分形斷裂，斷裂的能量吸收率可以和斷口的分形測(cè)度即分維建立聯(lián)系。微裂紋花樣的分形特征可以概括混凝土、陶瓷等多相材料的斷裂能量。文獻(xiàn)[ 10 ]分析了裂紋擴(kuò)展速率的分形效應(yīng)，結(jié)果表明在相同晶粒尺寸的材料中，沿晶和偶合斷裂具有最快的擴(kuò)展速率。 所有這些，如果不考慮分形就不可能定量地反映出這些規(guī)律性，也不可能直接建立微觀與宏觀相結(jié)合的表達(dá)式。 宏觀裂紋分叉使斷韌性提高，這一直是斷裂力學(xué)研究的一個(gè)課題。一些學(xué)者從裂紋頂端存在夾雜、空隙等而引起裂紋重新形核和擴(kuò)展來(lái)探討是應(yīng)力強(qiáng)度因子增大的機(jī)理，而另一些學(xué)者從裂紋分叉的非規(guī)則性來(lái)研究斷裂韌性的提高。

    誘發(fā)材料宏觀物理力學(xué)性能劣化的內(nèi)部微裂紋或孔隙發(fā)育、演化行為稱作損傷。 選擇恰當(dāng)?shù)膿p傷變量描述損傷及其演化律，建立損傷宏觀力學(xué)響應(yīng)與微紉觀結(jié)構(gòu)效應(yīng)之間的定量關(guān)系是損傷力學(xué)研究最基本、同時(shí)也是最感興趣的問(wèn)題之一。近年來(lái)分形幾何已成為定量描述材料損傷斷裂宏細(xì)微觀力學(xué)行為的有力工具，這類工作主要揭示了材料損傷行為的分形持征，并將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合損傷分形描述與宏觀力學(xué)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。文獻(xiàn)[11 ]首先研究了混凝土類材料損傷演化過(guò)程的自相似性規(guī)律，發(fā)現(xiàn)損傷演化是一個(gè)分形，分形能刻劃材料損傷斷裂的整個(gè)過(guò)程。文獻(xiàn)[12 ]結(jié)合損傷力學(xué)和分形幾何理論，在分?jǐn)?shù)維空間給出了分形損傷變量定義及其解析表達(dá)式，指出歐氏空間損傷變量實(shí)際是分?jǐn)?shù)維空間分形損傷變量， 將歐氏空間損傷變量定義推廣到分?jǐn)?shù)維空間，建立了一種兼顧反映損傷細(xì)觀結(jié)構(gòu)效應(yīng)和宏觀損傷力學(xué)分析需要的損傷定義與描述方法。 在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了材料損傷演化律和損傷本構(gòu)關(guān)系的分形表達(dá)形式，揭示了宏觀損傷力學(xué)性能變化對(duì)損傷微細(xì)觀結(jié)構(gòu)效應(yīng)的依賴關(guān)系。

1. 3 分形在混凝土材料聲發(fā)射研究中的應(yīng)用

    混凝土內(nèi)部含有許多不同性質(zhì)的缺陷、裂紋及微觀構(gòu)造上的不均勻性，其受載斷裂過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)由原生裂隙到微裂紋擴(kuò)展，隨后出現(xiàn)宏觀斷裂的連續(xù)過(guò)程。而斷裂力學(xué)是以主裂紋的開(kāi)裂作為材料斷裂的判別依據(jù)，當(dāng)采用斷裂力學(xué)理論解決混凝土的斷裂問(wèn)題時(shí)，一個(gè)很重要的問(wèn)題，就是如何確定臨界條件，即在上述連續(xù)過(guò)程中取哪一狀態(tài)為開(kāi)裂的臨界狀態(tài)。 大量實(shí)驗(yàn)表明，混凝土在整個(gè)斷裂過(guò)程中都伴有聲發(fā)射產(chǎn)生，并且在不同階段有著不同的聲發(fā)射特征。 分形幾何是近幾年發(fā)展起來(lái)的研究在自相似意義下所具有的尺度不變性的數(shù)學(xué)分支。

    文獻(xiàn)[13 ]通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果證明，混凝土材料的聲發(fā)射過(guò)程具有分形特征。分形特征是聲發(fā)射過(guò)程在自相似意義下所具有的尺度不變性，它可以作為從復(fù)雜多變的聲發(fā)射信號(hào)中提取有關(guān)材料內(nèi)部變化的可靠信息的內(nèi)在根據(jù)，其所建立的分形特征函數(shù)從自相似的角度反映了聲發(fā)射過(guò)程的性質(zhì)。這一特征函數(shù)不僅可用于材料聲發(fā)射性能的研究，而且可用來(lái)探討力學(xué)過(guò)程與材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)演化之間的關(guān)系(即本構(gòu)關(guān)系) 。 聲發(fā)射特征參數(shù)同樣能明顯地表達(dá)出斷裂過(guò)程中材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)演化的進(jìn)程，而且與基本聲發(fā)射參數(shù)相比，特征參數(shù)有更好的穩(wěn)定性和直觀性，因而更便于應(yīng)用，在臨界狀態(tài)下，各聲發(fā)射分形特征參數(shù)表現(xiàn)出一定的異?！澳Ｊ健?，而且不同參數(shù)對(duì)這種異常的反映是一致的。 因此，這種識(shí)別模式可以作為材料出現(xiàn)臨界斷裂的識(shí)別特征。

1. 4 　基于分形理論的混凝土質(zhì)量評(píng)價(jià)

    對(duì)于混凝土中裂隙分布的高度不均勻性，可應(yīng)用分形方法對(duì)這種非均勻性進(jìn)行研究。這種方法可以用來(lái)分析沿某一測(cè)量方向的事件發(fā)生的可能性與不均勻性，測(cè)量過(guò)程如下:

用某一尺度ri將一段巖心劃分成M 段小區(qū)間，如果這M 段小區(qū)間中有m 段小區(qū)間含有裂隙，那么在

該尺度下裂隙出現(xiàn)的概率P 為　　　　　　　　Pi = m/ M

改變測(cè)量的尺度ri為ri + 1 ，則有不同的概率P 與之相對(duì)應(yīng). 按上述定義有　　

Pi = Ni / Mi

式中　Ni為在ri尺度下Mi段巖心中出現(xiàn)裂隙的混凝土段數(shù)

由于　　　　　　　　　　　　　　　　Mi = L/ ri

則有　　　　　　　　　　　　　　　　Pi = Ni ri / L

式中　L 為所取混凝土試樣段的長(zhǎng)度

從而　　　　　　　　　　　　　　　　Pi = C

對(duì)于Cantor 集合，令C = 1 ，則一個(gè)長(zhǎng)度為r = (1/ 3) n的步長(zhǎng)包含有一條線段的概率為

p n = (2/ 3) n ，于是D = log2/ log3 ，這和用分形的定義公式計(jì)算的結(jié)果是一樣的。

    將一系列的ri和p i的數(shù)據(jù)投影到log p —log r 的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上得到一系列點(diǎn)，在圖上找出無(wú)標(biāo)度區(qū)，然后用最小二乘法擬合該直線. 該直線段的斜率即為1 —D ，這樣即可求出該段混凝土的分維值D ，進(jìn)而作為判斷混凝土澆注質(zhì)量的依據(jù)。

2 　分形幾何在混凝土研究中的應(yīng)用展望

    如前所述：混凝土材料從形成機(jī)理到受力變形特征均表現(xiàn)出強(qiáng)烈的分形行為，因此建立混凝土分形理論立論充分，其理論框架如下：

第一，應(yīng)用分形理論和計(jì)算機(jī)技術(shù)構(gòu)造或生成混凝土的分形模型，研究其孔隙、破碎的生成機(jī)理及其形成有關(guān)參數(shù)、物理性質(zhì)、化學(xué)性質(zhì)與分形演化的關(guān)系。

第二，利用計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)等手段研究混凝土材料受力變形和破壞的力學(xué)機(jī)理，并建立分形演化與其物理力學(xué)參數(shù)的關(guān)系.

第三，建立分形演化動(dòng)力學(xué)方程，構(gòu)造混凝土分維動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型，并軟件化，實(shí)現(xiàn)混凝土變形和破壞的可視化模擬. 混凝土材料分形行為的研究，為認(rèn)識(shí)混凝土變形破壞機(jī)理提供了可視的研究手段，并為從更深層次認(rèn)識(shí)混凝土材料變形破壞、非線性、復(fù)雜性架起了橋梁[ 14 ]。

(1) 上述大量分析表明，混凝土材料變形破壞過(guò)程中的各類分形圖景貌似無(wú)序、無(wú)規(guī)則中的規(guī)則，非確定中的確定，可以用固定函數(shù)，圖形或綜合按照分形法則來(lái)構(gòu)造和模擬，這恰是混沌理論所要闡述的?；炷敛牧蟿?dòng)力學(xué)演化過(guò)程具有混沌特征： ①混沌是混凝土材料中固有的，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的復(fù)雜性受混凝土材料本身內(nèi)部固有缺陷所決定； ②混沌是決定論的，混凝土材料每時(shí)每刻的狀態(tài)均受前一時(shí)刻狀態(tài)的制約； ③ 混沌出現(xiàn)在混凝土材料裂紋演化、破裂點(diǎn)變化過(guò)程或系統(tǒng)中； ④裂紋擴(kuò)展或材料破壞對(duì)初值的敏感性、演化過(guò)程中非周期性以及分形性也是具有混沌吸引系產(chǎn)生的條件。

(2) Thom 的突變理論最早(1972) 出現(xiàn)在《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學(xué)》一書(shū)中，說(shuō)明突變理論更主要的是關(guān)于形態(tài)發(fā)生的科學(xué)，混凝土材料破壞過(guò)程中，表現(xiàn)出一系列演化著的分形形態(tài)，其演化著的分形形態(tài)存在著突變，例如裂紋突然擴(kuò)展，混凝土的突然破裂，地震的突然發(fā)生，斷層的突然滑移等等， 因此突變理論能夠更好地刻劃混凝土材料分形動(dòng)力學(xué)行為中的突變現(xiàn)象。

(3) 混凝土材料裂紋演化的協(xié)同效應(yīng)。 對(duì)于混凝土材料，成巖后和變形后出現(xiàn)的圖形均是靜態(tài)的，而在變形過(guò)程中卻表現(xiàn)出了擴(kuò)張或收縮性的動(dòng)態(tài)分形圖景。著名的Mandelbrot 集、J ulia 集以及Smale 馬碲映射、Henone 映射等從理論上證實(shí)這種分形演化的動(dòng)力行為。如在地震前期地層中的微破裂點(diǎn)集就是典型的離散點(diǎn)集式收縮域分形，采動(dòng)巖體裂隙分形演化也是一個(gè)典型的變維分形，混凝土動(dòng)態(tài)破碎(爆破) 卻是一個(gè)擴(kuò)張域分形， 因此研究建立混凝土類材料分形動(dòng)力學(xué)理論具有廣泛的工程適用性。 遠(yuǎn)平衡條件下的非線性動(dòng)力學(xué)在材料科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛。在很多情況下，材料的生長(zhǎng)被一些在遠(yuǎn)離熱平衡條件下進(jìn)行的過(guò)程控制著. 分形理論的進(jìn)展必將為混凝土材料科學(xué)的研究提供更有力的方法和觀點(diǎn)。

應(yīng)用分形理論解決問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①     分形既可以是幾何實(shí)體也可以是由“功能”或“信息”等架起的數(shù)理模型；

②     分形可以同時(shí)具有形態(tài)、功能和信息三方面的自相似性，也可以只具有其中某一方面的自相似性，這樣就使分形理論研究的領(lǐng)域大大拓寬，分形中的自相似性可以是絕對(duì)的相同，也可以是統(tǒng)計(jì)意義上的相似，自然界中前者很少見(jiàn)到，而后者卻比比皆是；

③     分形的相似性有層次上的差異。數(shù)學(xué)上的分形具有無(wú)限嵌套的層次結(jié)構(gòu)，自然界中的分形只有有限的層次嵌套，且要進(jìn)入一定的層次后才可以有分形的規(guī)律；

④     分形的相似性有級(jí)別上的差異，級(jí)別即使用生成元的次數(shù)或放大的倍數(shù). 級(jí)別最高的是整體，級(jí)別最低的是零級(jí)生成元，級(jí)別越接近，則越相似，級(jí)別相差越大，相似性越差，有時(shí)甚至根本不相似，這就涉及到標(biāo)度區(qū)間或標(biāo)度不變性范圍. 一旦逾越標(biāo)度區(qū)間，自相似性就不復(fù)存在，因此就談不上分形了.

參考文獻(xiàn)

[1] 　張濟(jì)忠. 分形. 北京:清華大學(xué)出版社，1997

[2] 　夏春，劉浩吾. 混凝土細(xì)骨料級(jí)配的分形特征研究. 西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2002 ，4 (2) :1862189

[3] 　李國(guó)強(qiáng). 級(jí)配骨料的分形效應(yīng). 混凝土，1995 ， (1) :327

[4] 　吳科如，張東，嚴(yán)安等. 混凝土斷裂面三維重構(gòu). 建筑材科學(xué)報(bào)，1999 ，2 (3) :2612265

[5] 　David A. L ， Hamlin MJ . Surendra PS. Relationship between f racture surface roughness and f racture behavior of cement paste and mor2 tar . J Am Ceram Soc ，1993 ，76 (3) :5892597

[6] 　龍期威. 金屬中的分形與復(fù)雜性. 上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，1999

[7] 　龍起易等. 馬氏體相變的分形描述. 合肥:中國(guó)科技大學(xué)出版社，1993. 2912293 7 3 第2 期宋世謙等：分形幾何在混凝土研究中的應(yīng)用及其前景

[8 ] 　謝和平，陳至達(dá). 分形幾何與混凝土斷裂. 力學(xué)學(xué)報(bào)，1988 ，20 (3) :2642271

[ 9 ] 　Borodich F M. Some f ractal models of f racture. Journal of t he Mechanics and Physics of solids ，1997 ，45 (2) :2392259

[10] 　謝和平. 混凝土、混凝土損傷力學(xué). 徐州:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，1990

[11] 　謝和平，寓峰. 混凝土類材料損傷演化的分形特征. 混凝土力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，1991 ，10 (1) :74282

[12] 　謝和平，鞠楊. 分?jǐn)?shù)維空間中的損傷力學(xué)研究初探. 力學(xué)學(xué)報(bào)，1999 ， (3) :3002310

[13] 　董毓利. 混凝土非線性力學(xué)基礎(chǔ). 北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，1997

[14] 　任光耀，成雁翔，楊志安. 干旱系統(tǒng)演化探索. 西安，陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1998

[15] 　于廣明，董春勝，潘永戰(zhàn)等. 混凝土的分形性及其單軸應(yīng)力下裂紋演化的混沌效應(yīng).